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《山东大学学报(理学版)》 ›› 2024, Vol. 59 ›› Issue (6): 36-43, 70.doi: 10.6040/j.issn.1671-9352.0.2023.192

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完全二部图K12, n(12≤n≤88)的点可区别E-全染色

胡开洋1(),黄明芳1,*(),马宝林2   

  1. 1. 武汉理工大学理学院, 湖北 武汉 430070
    2. 河南科技学院数学科学学院, 河南 新乡 453003
  • 收稿日期:2023-04-28 出版日期:2024-06-20 发布日期:2024-06-17
  • 通讯作者: 黄明芳 E-mail:2776982452@qq.com;ds_hmf@126.com
  • 作者简介:胡开洋(1999—), 男, 硕士研究生, 研究方向为图论. E-mail: 2776982452@qq.com
  • 基金资助:
    国家自然科学基金资助项目(12261094)

Vertex-distinguishing E-total coloring of complete bipartite graph K12, n for 12≤n≤88

Kaiyang HU1(),Mingfang HUANG1,*(),Baolin MA2   

  1. 1. School of Science, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, Hubei, China
    2. School of Mathematics and Science, Henan Institute of Science and Technology, Xinxiang 453003, Henan, China
  • Received:2023-04-28 Online:2024-06-20 Published:2024-06-17
  • Contact: Mingfang HUANG E-mail:2776982452@qq.com;ds_hmf@126.com

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96

摘要：

图G的一个E-全染色是指图G中存在一个映射f : $V \cup E \rightarrow\{1, 2, \cdots, k\} $, 对于任意边e=uv ∈ E(G), 有f(e)≠f(u), f(e)≠f(v)且f(u)≠f(v)。在E-全染色f下, 令C(v)表示顶点v所染的颜色及与顶点v相邻的边所染的颜色所构成的集合。若$ \forall$u, v ∈ V(G), u≠v有C(u)≠C(v), 则称f为图G的k-点可区别E-全染色, 简称k-VDET染色。本文证明了完全二部图K12, n分别在12≤n≤28下的6-VDET染色和29≤n≤88下的7-VDET染色。

关键词: 完全二部图, E-全染色, 点可区别E-全染色

Abstract:

An E-total coloring of graph G is a mapping f : $V \cup E \rightarrow\{1, 2, \cdots, k\} $ such that for each edge $ e=u v \in E(G), f(e) \neq f(u)$, $ $ $ f(e) \neq f(v) \text { and } f(u) \neq f(v)$. For an E-total coloring f of a graph G, let C(v) denote the set of colors of vertex v and the edges incident with v. If $ C(u) \neq C(v) \text { where } u, v \in V(G) \text { and } u \neq v$, then that f is a k-vertex-distinguishing E-total coloring of graph G, or simply k-VDET coloring. This paper proves 6-VDET coloring and 7-VDET coloring of complete bipartite graph K12, n for 12≤n≤28 and 29≤n≤88, respectively.

Key words: complete bipartite graph, E-total coloring, vertex-distinguishing E-total coloring

中图分类号: 

  • O157.5

表1

当12≤i≤28时K12, 28的顶点ui及其关联边的染色方案"

限制条件 顶点ui对应的集合 顶点ui及其关联边染色
1≤a≤3, 3≤b≤4, a≠b {a, b} a; b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b
3≤a≤4 {1, 2, a} 1;2, a, a, 2, 2, a, 2, 2, a, 2, a, a
1≤a≤2 {a, 3, 4} a; 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4
1≤a≤2, 3≤b≤4 {a, b, 5} a; b, b, b, b, b, b, 5, b, b, 5, b, b
1≤a≤2, 3≤b≤4 {a, b, 6} a; 6, b, b, b, b, b, b, b, 6, b, b, b
3≤a≤4 {1, 2, a, 5} 1;2, a, a, a, a, 5, a, a, a, 5, a, a
3≤a≤4 {1, 2, a, 6} 1;6, a, a, 2, a, a, a, a, 6, a, a, a
1≤a≤2, 3≤b≤4 {a, b, 5, 6} a; b, b, b, b, b, b, b, b, 6, 5, b, b
3≤a≤4 {1, 2, a, 5, 6} 1;a, a, a, a, a, a, a, a, 6, 5, a, a
{1, 2, 3, 4} 2;1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3

表2

当12≤i≤88时K12, 88的顶点ui及其关联边的染色方案"

限制条件 顶点ui对应的集合 顶点ui及其关联边染色
1≤a≤4, 3≤b≤5, a≠b {a, b} a; b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b
3≤a≤5 {1, 2, a} 1;2, a, a, a, 2, 2, a, a, a, 2, a, a
1≤a≤3, 3≤b≤4, 4≤c≤5, a≠b≠c {a, b, c} a; b, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c
1≤a≤2, 3≤b≤5 {a, b, 6} a; b, b, b, b, b, b, 6, b, b, b, 6, b
1≤a≤2, 3≤b≤5 {a, b, 7} a; b, b, b, b, b, b, b, b, b, 7, b, 7
3≤a≤4, 4≤b≤5, a≠b {a, b, 6} a; b, b, b, b, b, b, 6, b, b, b, 6, b
3≤a≤4, 4≤b≤5, a≠b {a, b, 7} a; b, b, b, b, b, b, b, b, b, 7, b, 7
3≤a≤5, b=4, 5, 7, a≠b {1, 2, a, b} 1;a, a, a, a, 2, 2, a, 2, 2, b, 2, 2
3≤a≤5 {1, 2, a, 6} 1;a, a, a, a, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 6, 2
1≤a≤2, 3≤b≤4, 4≤c≤5, d=4, 5, 7, b≠c≠d {a, b, c, d} a; c, c, c, c, b, b, c, b, b, d, b, b
1≤a≤2, 3≤b≤4, 4≤c≤5, b≠c {a, b, c, 6} a; b, b, b, b, b, b, 6, b, b, b, 6, c
3≤a≤4, 4≤b≤5, c=5, 7, a≠b≠c {1, 2, a, b, c} 1;a, a, a, a, 2, 2, b, 2, 2, c, 2, 2
3≤a≤4, 4≤b≤5, a≠b {1, 2, a, b, 6} 1;a, a, a, a, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 6, b
3≤a≤5 {1, 2, a, 6, 7} 1;a, a, a, a, 2, 2, 6, 2, 2, 7, 6, 7
1≤a≤2, 3≤b≤4, 4≤c≤5, b≠c {a, b, c, 6, 7} a; b, b, b, b, c, c, 6, c, c, 7, 6, 7
4≤a≤5 {1, 2, 3, a, 6, 7} 2;3, a, 1, 1, 3, a, 6, 1, 1, 1, 6, 7
{1, 2, 4, 5, 6, 7} 2;4, 5, 1, 1, 4, 5, 6, 1, 1, 7, 6, 1
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12 汉大玮,陈祥恩.完全二部图K11, n(11≤n≤88)的点可区别E-全染色[J].广州大学学报(自然科学版),2022,21(1):10-17.
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