研究一个同时受白噪声影响和带有Markov切换的随机霍乱传染病模型,且带有一般性传染率函数和隔离措施。首先,得出模型的全局正解的存在唯一性。其次通过构造适当的随机Lyapunov函数,求出疾病是否灭绝的充分条件R_e和平稳分布的充分条件R_c。当R_c>1时,模型存在唯一遍历的平稳分布,当R_e<1时,疾病以指数速率灭绝。最后,通过数值模拟验证理论结果的正确性。结果表明较大强度的白噪声会导致传染病灭绝。若疾病在一个状态为持续,在另一个状态为灭绝,最终疾病灭绝还是持久取决于Markov链在每个状态下的概率大小。同时隔离措施也是疫情防控的重要措施之一。

基于复杂网络建立具有不同传染性的无症状感染者A与染病者I且具有疫苗接种的SVAIR传染病模型。利用下一代矩阵法求得基本再生数R₀。并利用Lyapunov函数方法和单调迭代方法证明:当R₀<1时,无病平衡点是全局渐近稳定的;当R₀>1时,地方病平衡点存在惟一性,系统一致持续且地方病平衡点是全局吸引的。最后,选择无标度网络进行敏感性分析和数值模拟,验证理论结果,结果显示,提高疫苗效力和疫苗接种率可以更好地控制传染病的传播。

本文考虑一种具有避难所因素和集群行为的带交叉扩散的捕食者-食饵模型,揭示避难所因素对该模型中捕食者和食饵的调控机制。随着避难所因素的增大,捕食者和食饵种群的集群行为越来越明显。通过一个适当的避难所阈值参数来研究系统的空间动力学行为,并观察到一系列的斑图模式,如点状、条状及点状与条状混合斑图。具体地,应用线性稳定性分析得到图灵不稳定性的条件。然后,应用多重尺度分析,导出图灵分岔临界点附近的振幅方程,从非线性动力学角度阐释斑图相变的内在机理,通过数值模拟验证理论计算结果。这为通过生态避难所设计调控集群生物种群的规模与空间分布提供了可量化的理论工具。

建立具有交叉扩散的随机种群-毒物模型;利用Galerkin有限元逼近方法,得到随机交叉扩散模型在有限维空间中的近似解;通过分析近似解的存在唯一性、胎紧性及弱收敛性, 证明该模型在Hilbert空间全局鞅解的存在性。

在生态系统中,捕食者引起的恐惧会抑制猎物的出生率,同时物种间的合作是一种普遍存在的行为。基于此,本文建立一个具有恐惧效应、狩猎合作和收获的捕食者-食饵模型。首先,对于非空间模型,证明解的正性和有界性,给出模型所有平衡点的存在性和局部稳定性的充分条件,选取合适的Lyapunov函数证明内部平衡点的全局稳定性。其次,探讨模型的关键系数的局部分岔,利用Sotomayor定理证明跨临界分岔,分析在狩猎合作参数下的Hopf分岔。对于空间模型,给出详细的稳定性分析,研究Turing不稳定的条件,得到多种Turing斑图并讨论这些斑图在二维空间模型中的生物学意义。最后进行数值模拟,以验证非空间和空间模型分析结果的正确性。

为了研究随机噪声对高阶网络上传染病传播的影响,本文提出了一个单纯复形网络上的随机SIR传染病模型。首先利用单纯复形构造一个描述节点间联系的社会网络,用平均场方法来描述网络中节点随时间的演化,并对传播过程施加白噪声干扰。其次通过动力学分析,得到疾病暴发的阈值,证明在一定条件下系统全局正解的存在性和唯一性、疾病的灭绝性和解的渐近振荡。最后在两个真实的网络上对该模型进行了仿真模拟,验证噪声强度对疾病传播的影响,但不同特征的网络结构对疾病传播过程有不同的影响,1-单纯形的平均度较高时疾病传播的会更快。

研究一类移动环境中捕食-食饵格微分模型强迫波的存在性和不存在性。首先, 通过构造合适的上下解以及应用 Schauder 不动点定理证明该模型强迫波的存在性; 其次,利用反证法证明强迫波的不存在性。

针对传统局部扩散模型在刻画长距离传播上的局限性,本文基于Berestycki等提出的具有局部扩散的Field-Road模型,研究一类具有非局部扩散的Field-Road模型。首先,建立快速扩散路径加快物种传播速度的阈值并通过构造适当的上下解结合比较原理证明沿路方向上的渐近传播速度的存在性;其次,研究物种在路上的扩散速率、非局部扩散核函数的支集半径以及对流强度对渐近传播速度的影响。结果表明,3个参数均会加快渐近传播速度且其与扩散速率的平方根、支集半径以及对流强度保持同阶线性增长。

研究一类污染环境下依赖个体尺度的捕食种群系统的最优控制问题, 其控制变量为生育率与毒素的输入量。运用切锥法锥理论、Dubovitskii-Milyutin定理和共轭系统技巧分别给出固定时间区间上的端点自由问题、无穷时间问题、状态约束问题的最优性条件,为治理环境污染、保护生物多样性、科学开发生物资源等方面提供理论支撑。

研究与多相泛函相对应的非一致椭圆方程弱解的全局正则性。利用Young不等式、Hölder不等式、Sobolev-Poincaré不等式、Gehring引理等,提高了可积指数,获得了该方程弱解的全局正则性。

本文研究具有参数不确定性的非线性系统中的自适应有限时间控制问题。该类系统的阶次不是常数而是时变函数且非线性函数中含有参数不确定性。结合Lyapunov函数、符号函数、添加幂积分器与自适应控制方法,设计自适应状态反馈控制器。该控制器能够在系统参数不确定且系统阶次为时变函数时,确保系统是半全局实用有限时间稳定的。最后,仿真结果验证所提出的控制方法的可行性和有效性。