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《山东大学学报(理学版)》 ›› 2024, Vol. 59 ›› Issue (8): 84-93.doi: 10.6040/j.issn.1671-9352.0.2023.123

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基于Hadamard游荡的一类具有相同特征值和连续谱的两态量子游荡

吕平涛(),王才士*(),赵积君   

  1. 西北师范大学数学与统计学院, 甘肃 兰州 730070
  • 收稿日期:2023-03-21 出版日期:2024-08-20 发布日期:2024-07-31
  • 通讯作者: 王才士 E-mail:2328158374@qq.com;wangcs@nwnu.edu.cn
  • 作者简介:吕平涛(1999—)，男，硕士研究生，研究方向为随机分析. E-mail: 2328158374@qq.com
  • 基金资助:
    国家自然科学基金资助项目(12261080)

A class of two-state quantum walk based on Hadamard walk with the same eigenvalues and continuous spectrum

Pingtao LYU(),Caishi WANG*(),Jijun ZHAO   

  1. College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, Gansu, China
  • Received:2023-03-21 Online:2024-08-20 Published:2024-07-31
  • Contact: Caishi WANG E-mail:2328158374@qq.com;wangcs@nwnu.edu.cn

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摘要：

将Wojcik模型进行推广, 使整个模型含有2个参数ε和ω。特别是, 发现尽管扩展模型增加了一个参数ε, 但是特征值并未改变, 也就是不依赖于新增加的参数。同时, 本文将扩展模型在单位圆上的特征值分布与Hadamard游荡连续谱范围进行对比, 并得出相关结论。

关键词: 离散时间量子游荡, 特征值, 平稳测度, 连续谱

Abstract:

In this paper, we generalize the Wojcik model to make the whole model contain two parameters ε and ω. Especially, although the extended model adds one parameter ε, the eigenvalue does not change, i.e., it does not depend on the newly added parameter. At the same time, we compare the eigenvalue distribution of the extended model on the unit circle with the region of Hadamard walk continuous spectrum, and obtain relevant conclusions.

Key words: discrete-time quantum walk, eigenvalue, stationary measure, continuous spectrum

中图分类号: 

  • O211.6

表1

扩展模型中特征值的参数依赖以及其对应的平稳测度$ \beta=\alpha \mathrm{e}^{e i} \mathrm{i}$"

$ \phi$ $ \beta=\alpha \mathrm{e}^{\varepsilon i} \mathrm{i}$
$ \frac{1}{8}\left(\omega=\mathrm{e}^{\frac{\pi \mathrm{i}}{4}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i}}{2}\right)$ $ \lambda^2=-1, \quad \mu(x)=2|\alpha|^2\left(\frac{1}{3-2 \sqrt{2}}\right)^{|x|} \begin{cases}2-\sqrt{2}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{cases}$
$ \frac{1}{6}\left(\omega=\mathrm{e}^{\frac{\pi i}{3}}=\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)$ $ \lambda^2=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}, \quad \mu(x)=2|\alpha|^2\left(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\right)^{|x|} \begin{cases}\frac{3-\sqrt{3}}{2}, & x \neq 0， \\ 1, & x=0\end{cases}$
$ \frac{1}{4}\left(\omega=\mathrm{e}^{\frac{\pi \mathrm{i}}{2}}=\mathrm{i}\right)$ $ \lambda^2=\mathrm{i}, \quad \mu(x)=2|\alpha|^2$
$ \frac{1}{2}\left(\omega=\mathrm{e}^{\pi \mathrm{i}}=-1\right)$ $ \lambda^2=\frac{-4+3 \mathrm{i}}{5}, \quad \mu(x)=2|\alpha|^2\left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} \begin{cases}3, & x \neq 0 ，\\ 1, & x=0\end{cases}$
$ \frac{2}{3}\left(\omega=\mathrm{e}^{\frac{4 \pi \mathrm{i}}{3}}=\frac{-1-\sqrt{3} \mathrm{i}}{2}\right)$ $ \lambda^2=\frac{-6-3 \sqrt{3}+(1-2 \sqrt{3}) \mathrm{i}}{8+2 \sqrt{3}}, \quad \mu(x)=2|\alpha|^2\left(\frac{1}{4+\sqrt{3}}\right){ }^{|x|} \begin{cases}\frac{5+\sqrt{3}}{2}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{cases}$
$ \frac{3}{4}\left(\omega=\mathrm{e}^{\frac{3 \pi \mathrm{i}}{2}}=-\mathrm{i}\right)$ $ \lambda^2=\frac{-4-3 \mathrm{i}}{5}, \quad \mu(x)=2|\alpha|^2\left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} \begin{cases}3, & x \neq 0， \\ 1, & x=0\end{cases}$

表2

扩展模型中特征值的参数依赖以及其对应的平稳测度$ \beta=-\alpha \mathrm{e}^{\varepsilon i} \mathrm{i}$"

$ \phi$ $ \beta=-\alpha \mathrm{e}^{\varepsilon i} \mathrm{i}$
$ \frac{1}{8}\left(\omega=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{4}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i}}{2}\right)$ $ \lambda^2=\frac{-1+2 \sqrt{2} \mathrm{i}}{3}, \quad \mu(x)=2|\alpha|^2\left(\frac{1}{3}\right)^{|x|} \begin{cases}2, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{cases}$
$ \frac{1}{6}\left(\omega=\mathrm{e}^{\frac{i}{3}}=\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)$ $ \lambda^2=\frac{-(2+\sqrt{3})+(3+2 \sqrt{3}) \mathrm{i}}{4+2 \sqrt{3}}, \quad \mu(x)=2|\alpha|^2\left(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\right)^{|x|} \begin{cases}\frac{3+\sqrt{3}}{2}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{cases}$
$ \frac{1}{4}\left(\omega=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{2}}=\mathrm{i}\right)$ $ \lambda^2=\frac{-4+3 \mathrm{i}}{5}, \quad \mu(x)=2|\alpha|^2\left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} \begin{cases}3, & x \neq 0， \\ 1, & x=0\end{cases}$
$ \frac{1}{2}\left(\omega=\mathrm{e}^{\pi \mathrm{i}}=-1\right)$ $ \lambda^2=\frac{-4-3 \mathrm{i}}{5}, \quad \mu(x)=2|\alpha|^2\left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} \begin{cases}3, & x \neq 0， \\ 1, & x=0\end{cases}$
$ \frac{2}{3}\left(\omega=e^{\frac{4 \pi i}{3}}=\frac{-1-\sqrt{3} \mathrm{i}}{2}\right)$ $ \lambda^2=\frac{3 \sqrt{3}-6-(1+2 \sqrt{3}) \mathrm{i}}{8-2 \sqrt{3}}, \quad \mu(x)=2|\alpha|^2\left(\frac{1}{4-\sqrt{3}}\right)^{|x|} \begin{cases}\frac{5-\sqrt{3}}{2}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{cases}$
$ \frac{3}{4}\left(\omega=e^{\frac{3 \pi i}{2}}=-i\right)$ $ \lambda^2=-\mathrm{i}, \quad \mu(x)=2|\alpha|^2\left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} \begin{cases}3, & x \neq 0， \\ 1, & x=0\end{cases}$

图1

当$ \beta=\alpha \mathrm{e}^{\varepsilon i} \mathrm{i}$时, 扩展模型特征值移动示意图"

图2

当$ \beta=-\alpha \mathrm{e}^{\varepsilon i} \mathrm{i}$, 时扩展模型特征值移动示意图"

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